Здравствуйте!

Ответы и решения

выпуск No38

Чему равен X?

Нижеследующий список из десяти утверждения связан со значением X.
(X - натуральное число, 0 < X < 11).
Не все утверждения истинные, но и не все ложные.
Найдите значение X.

1. Значение X равно сумме номеров всех ложных утверждений из этого списка.
2. Значение X меньше количества ложных утверждений в этом списке, и утверждение No10 истинное.
3. Либо в этом списке ровно три истинных высказывания, либо утверждение No1 ложное.
4. Все предыдущие утверждения ложные или утверждение No9 истинное.
5. Либо X - нечетное число, либо утверждение No7 - истинное.
6. В этом списке ровно два утверждения с нечетными номерами ложные.
7. Значение X совпадает с номером истинного утверждения.
8. Или все утверждения с четными номерами истинные или все ложные.
9. Значение X в три раза больше номера первого истинного утверждения в этом списке или утверждение No4 - ложное.
10. X - четное число или утверждение No6 - истинное.

Ответ: X = 9

Сумароков Стас:

Сокращения: и - истинное; л - ложное; = - является; => - отсюда следует.
Если утверждение состоит из нескольких соединенных частей (А и В, А или В), то первую часть утверждения n я буду называть n.1, а вторую - n.2

Пусть, 8=и. 8.2=л => 8.1=и. 4.1=л (т.к. 2=и) => 4.2=и => 9=и. 9.2=л => 9.1=и => Х в 3 раза больше номера первого истинного утв.   Т.к. 2=и, 1=л  (Х не может быть одновременно меньше кол-ва ложных утв. и равняться сумме номеров ложных утв.) => первое истинное утв - 2. То есть Х=2*3=6. Однако у нас не более 4 ложных утв. (т.к. 2,4,6,8 и 9=и) => 2.1=л => 2=л. Противоречие. => исходное предположение неверно => 8=л.

пусть 4.1=и => 1,2,3=л. => 3.2=л => 1=и => противоречие => 4.1=л => 1,2 и 3 не могут быть ложными одновременно. пусть 4.2=л => 9=л => 9.2=л => 4=и => противоречие => 4.2=и => 4=и => 9.2=л. 4,2=и => 9=и => 9.1=и => Х в 3 раза больше номера первого ист. утв.

Пусть 1=и => 2=л. 2=л, 8=л => Х>=10 (т.к. 1=и). Hо т.к. 9=и, 1=и => Х=3 => противоречие => 1=л => 3.2=и => 3=и.

Пусть 2=и => Х=6. 2,3,4,9,10=и => кол-во ложных утв. =<5 => противоречие с 2.1 => 2=л.

Первое истинное утв. - 3 => Х=9 => 5.1=л, 7=и => 5.2=и => 5=и. 3,5,7,9=и, 1=л => 6=л. 10.1=л, 10.2=л => 10=л.

Итак: 1=л, 2=л, 3=и, 4=и, 5=и, 6=л, 7=и, 8=л, 9=и, 10=л. *Х=9*

Саша Пелепейченко:

По-моему можно сделать так.

x=функции от десяти высказываний.
x=f(y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10)
Задача pешается так:
10. стpоим таблицу истинности на 10 входов с двумя устойчивыми состояниями.
Таблица содеpжит 1024 стpоки. Пpи этом 0-лож, 1-истина. Пеpвую и последнюю сpазу откинули.
15. For N=1 to 10
20. Для каждой комбинации, а их 1022 пpовеpяем, подходит ли для всех ее вопpосов число N.
25. Если подходит выводим N.
30. Next N

Имхо, вpучную пеpелопатить килобайтовый аpхив 10 pаз - занятие весьма утомительное... Hо ничего лучше я не пpидумал.

выпуск No28

Самоссылающийся тест

1. Следующий вопрос теста, ответ на который совпадает с ответом на этот вопрос:

A: 2.           B: 3.           C: 4.           D: 5.           E: 6.

2. Ответ на этот вопрос такой же, как и ответ на вопрос:

A: 4.           B: 5.           C: 6.           D: 7.           E: 8.

3. Единственные два последовательных вопроса с одинаковыми ответами:

A: 1 и 2.       B: 2 и 3.       C: 4 и 5.       D: 6 и 7.       E: 8 и 9.

4. Первый вопрос теста, ответ на который "B":

A: 1.           B: 2.           C: 3.           D: 4.           E: 5.

5. Количество вопросов теста, ответы на которые - согласные буквы:

A: 4.           B: 5.           C: 6.           D: 7.           E: 8.

6. Ответы на эти два вопроса теста одинаковые:

A: 2 и 4.       B: 2 и 9.       C: 8 и 10.      D: 5 и 7.       E: 1 и 6.

7. Ответ на этот вопрос такой же, как и ответ на вопрос:

A: 1.           B: 2.           C: 3.           D: 4.           E: 5.

8. Ответ на вопрос 10 такой же, как и ответ на вопрос:

A: 8.           B: 6.           C: 4.           D: 3.           E: 1

9. Количество ответов "A" в этом тесте по сравнению с количеством ответов "C":

A: на 1 меньше. B: на 2 меньше. C: одинаково.   D: на 2 больше. E: на 1 больше.

10. Количество ответов "B" в этом тесте по сравнению с количеством ответов "E":

A: одинаково.   B: на 2 больше. C: на 1 больше. D: на 2 меньше. E: на 1 меньше.

Решая тест можно легко запутаться и не найти выхода.
Кому-то может показаться, что тест решения не имеет...

Ответ:

1. E
2. B
3. C
4. B
5. B
6. E
7. C
8. E
9. A
10. E

Den (kharkov.ua):

...По моим рассуждениям, он не имеет решения.

Ход мыслей следующий:
Ответ на вопрос No1 "Следующий вопрос теста, ответ на который совпадает с ответом на этот вопрос" не может быть:
2 - потому что во 2 вопросе просто нет такого ответа
3 - потому что в 3 вопросе другой формат ответа
4 - потому что в этом случае получится неразрешимое противоречие в 4 вопросе
6 - потому что в 6 вопросе другой формат ответа

Таким образом, ответ на вопрос 1 - "5", соответственно ответ на вопрос 5 - "В:5". Исходя из формулировки первого вопроса, ответ "5" не может быть правильным ответом ни на вопрос 2, ни на вопрос 4.
Тогда ответ на вопрос 4 "Первый вопрос теста, ответ на который "В" не может быть 1 - по вышеизложенным причинам, 2 - потому что исходя из наших рассуждений во 2, 3, 4 вопросах не может быть ответ "5", 3 -потому что другой формат ответа, 4 - получится противоречие с вопросом, 5 - потому что исходя из наших рассуждений во 2, 3, 4 вопросах не может быть ответ "5".

Итак, не может быть корректного ответа на вопрос "4".

Если мы попробуем объединить форматы, а именно рассматривать ответ "1 и 2" идентичным ответу "3", то ход рассуждений будет повторен:
Не являются правильными ответами на вопрос 1:
- 2 - потому что во втором вопросе среди ответов нет двойки
- 3 - потому что тогда ответы на вопрос 1 и 2 должны совпадать и равняться 3, чего не может быть, так как во втором вопросе среди ответов тройки тоже нет
- 4 - противоречие вопроса и ответа
- 6 - дожны совпадать ответы на вопросы 2 и 4 , ответом может быть 4 и 5 (совпадают возможные ответы), 5 не может быть, потому что при ответе В:5 во втором вопросе ответ в четвертом должен быть В:2, а не Е:5, 4 не может быть, так как при ответе В:4 во втором вопросе в четвертом получается противоречие между ответом и вопросом
Тогда правильный ответ на первый вопрос Д:5, ответ на вопрос 5 "В:5", и ответами на вопросы 2,3,4 не могут быть пятерки.
И снова получается, что не может быть корректного ответа на вопрос 4.

Иван Грязных (Латвия, Даугавпилс):

1. Следующий вопрос теста, ответ на который совпадает с ответом на этот вопрос:

E: 6.

2. Ответ на этот вопрос такой же, как и ответ на вопрос:

B: 5.

3. Единственные два последовательных вопроса с одинаковыми ответами:

C: 4 и 5.

4. Первый вопрос теста, ответ на который "B":

B: 2.

5. Количество вопросов теста, ответы на которые - согласные буквы:

B: 5.

6. Ответы на эти два вопроса теста одинаковые:

E: 1 и 6.

7. Ответ на этот вопрос такой же, как и ответ на вопрос:

C: 3.

8. Ответ на вопрос 10 такой же, как и ответ на вопрос:

E: 1

9. Количество ответов "A" в этом тесте по сравнению с количеством ответов "C":

A: на 1 меньше.

10. Количество ответов "B" в этом тесте по сравнению с количеством ответов "E":

E: на 1 меньше.

Василий Славутинский (Москва):

Тут все запутано. Практически невозможно решать задачу по частям, т.е. найти несколько правильных ответов и танцевать от них. Т.е. каждый вариант надо вести до победного конца или до противоречия.

На что здесь стоит обратить внимание. Сначала стоит классифицировать вопросы. И начинать с тех, которые впоследствии дадут как можно меньше вариантов. Как можно классифицировать. Каждый вопрос ссылается на несколько других. То есть ответ на этот вопрос зависит от ответов на несколько других. Резонно начинать с вопросов, которые связаны с минимальным количеством других вопросов. Классифицируем:

    Номер | Связан с Х вопросами, Х = |
    1     |  2                        |
    2     |  2                        |
    3     |  2                        |
    4     |  1                        |
    5     |  потенциально 10          |
    6     |  2                        |
    7     |  2                        |
    8     |  2                        |
    9     |  потенциально 10          |
    10    |  потенциально 10          |

Вполне резонно начать с вопроса 4, а от вопросов 5,9,10 до последнего держаться подальше (разве что ответы на них получатся как следствия от ответов на другие вопросы). Тем более, что ответ D на 4-й вопрос можно выбросить сразу - это противоречие, т.к. если D, то ответ на 4 должен быть B.

Хорошие точки для поиска противоречий (и быстрого отсечения варианта) - это:

1. Превышение количества согласных относительно промежуточного ответа на 5
2. Появление более чем одной пары последовательных вопросов с одинаковыми ответами (противоречие вопросу 3)
3. Появление ответа В в вопросе с номером меньшим, чем это диктуется ответом на 4

Под промежуточным ответом на вопрос я понимаю ответ, либо взятый как допущение (допустим, ответ на вопрос 5 есть А) или ответ на вопрос, полученный как следствие из таких допущений.

Введем ещё обозначения
A(X) - ответ на вопрос под номером Х. A(1) = B значит "ответ на вопрос 1 есть В"
N(X) - количество ответов Х в тесте. N(A) = 5 значит "в тесте 5 ответов "А"

Поскольку ничего лучше на ум не приходит, варианты будем брать в алфавитном порядке и делать выводы на основании утверждений в вопросах.

1. Пусть A(4) = A. Тогда

  из вопроса 4 следует A(1) = B,
  из 1                 A(3) = B,
  из 3                 A(2)=A(3)=B

и мы приходим к противоречию - есть две пары последовательных вопросов с одинаковыми ответами А(1)=А(2)=В и А(2)=А(3)=В, тогда как по вопросу 3 такая пара только одна

2. Пусть А(4)=В
из 4 -> А(2)=В
из 2 -> А(5)=В
теперь пристально смотрим и видим, что А(4)=А(5)=В.
значит, должно быть А(3)=С
заполнили ответы на вопросы с 2 по 5
что делать дальше?
дальше надо копать вопрос 1. Потому что он связан с вопросами 2-6, а на все из них (кроме 6) у нас есть промежуточные ответы и в случае противоречия мы быстрее на него выйдем.
Видно, что при данных промежуточных ответах любой ответ на вопрос 1, кроме Е (а именно А(1)=А(6)) противоречив - легко проверить подстановкой этих ответов и проверкой условия
1. Тогда А(1) = Е, и из 1 А(6)=Е. А(6)=Е
при данных промежуточных ответах к противоречию не приводит, а наоборот, верно. теперь у нас уже заполнены вопросы 1-6.

А(1)=Е
А(2)=В
А(3)=С
А(4)=В
А(5)=В
А(6)=Е

дальше рассматриваем вопрос 7 - он связан с вопросами 1-5, на которые промежуточные ответы есть.
При данных промежуточных вопрос 7 допускает лишь ответы В и С. Эти варианты мы и рассмотрим. При этом заметим, что В и С - согласные, если А(5)=В, то все согласные ответы вышли, и варианты ответов на вопросы 8-10 могут быть только гласными - А или Е.
Следующим за 7 надо рассматривать вопрос 8 (из оставшихся вопросов 8-10 он связан с минимальным количеством других вопросов).

2.1
А(7)=В, А(8)=А
из 8 А(10)=А
остается вопрос 9
при данных промежуточных А(10)=А, т.е. N(B)=N(E). Но подсет промежуточных дает N(B)=4, а N(E)=2. Даже если будет А(9)=Е, все равно не получится N(B)=N(E). Противоречие.

2.2
А(7)=В, А(8)=Е
из 8 А(10)=Е
тогда N(B)=N(E)-1. При данных промежуточных N(E)=4, N(B)=4 и для этого необходимо
А(9)=Е. Но тогда из 9 должно быть N(A)=N(C)+1. А на деле N(A)=0, N(C)=1. Противоречие.

2.3
А(7)=С, А(8)=А
из 8 А(10)=А
при данных промежуточных А(10)=А, т.е. N(B)=N(E).
для этого необходимо А(9)=Е, т.е. N(A)=N(C)+1.
А на деле N(A)=N(C)=2. Противоречие.

2.4
А(7)=С, А(8)=Е
из 8 А(10)=Е, т.е. N(B)=N(Е)-1. При данных промежуточных это правильно.
Тогда для 9 остается только ответ А, т.е. N(A)=N(C)-1. При данных промежуточных N(A)=1, N(C)=2. Это правильно.

И получается ответ

А(1)=Е
А(2)=В
А(3)=С
А(4)=В
А(5)=В
А(6)=Е
А(7)=С
А(8)=Е
А(9)=А
А(10)=Е

Проверкой можно удостовериться в правильности.

Можно также показать единственность решения. Отсечем оставшиеся варианты - покажем их противоречивость.

3. А(4)=С. Тогда
из 4 А(3)=В
из 3 А(2)=В
но тогда не 3 - первый вопрос с ответом В, а 2 - противоречие

4. А(4)=D - этот вариант уже был отсечен в начале решения : если А(4)=D, то из 4 же А(4)=B.

5. А(4)=Е
тогда из 4 А(5)=В и 5 - первый по порядку вопрос с ответом В больше выводов из этого сделать не выйдет. придется проверять варианты для другого вопроса. Возьмем вопрос 1.

5.1 А(1)=А
Тогда из 1 А(2)=А
1 и 2 образуют 2 последовательных вопроса с одинаковыми ответами. Тогда должно быть А(3)=А - и три последовательных вопроса 1,2 и 3 имеют одинаковые ответы - противоречит 3

5.2 А(1)=В
Это не пойдет потому, что тогда первый вопрос с ответом В - 1, тогда как мы уже пришли к тому, что 5 - первый вопрос с ответом В (пункт 5.)

5.3 А(1)=С
Из 1 А(4)=С, но уже А(4)=Е по допущению пункта 5. - противоречие

5.4 А(1)=D
Из 1 А(5)=С, но уже А(5)=В (пункт 5.) - противоречие

5.5 А(1)=Е
из 1 А(6)=Е
получается
А(1)=Е
А(4)=Е
А(5)=В
А(6)=Е

теперь надо придавать различные значения ответу на 7.
возможные ответы А,D и Е очевидно не подходят - проверяется непосредственной подстановкой этих ответов и проверкой истинности условий вопросов при этих ответах.
А(7)=В приводит к А(2)=В, это противоречит сделанному выводу о том, что 5 - первый вопрос с ответом В.
Значит, остается А(7)=С. Тогда из 7 А(3)=С и из 3 А(4)=А(5). А по уже сделанным выводам А(4)=Е, А(5)=В - противоречие

Мы доказали единственность ответа.

До новой рассылки!